Geometry And Topology

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By René Bartsch

ISBN-10: 3486581589

ISBN-13: 9783486581584

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Differential Topology: Proceedings of the Second Topology Symposium, held in Siegen, FRG, Jul. 27–Aug. 1, 1987

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Example text

Reflexiv und transitiv ist sie in trivialer Weise, weil die identischen Abbildungen jeder Menge auf sich selbst nat¨ urlich bijektiv sind und weil eine Komposition von Injektionen wieder eine Injektion ist. 4 Sind A und B nichtleere Mengen, so gilt |A| ≥ |B| oder |B| ≥ |A|. Beweis: Wir betrachten ⎧ ⎫ ∀a1 , a2 ∈ A, b1 , b2 ∈ B : ⎨ ⎬ A := F ⊆ A × B (a1 , b1 ) ∈ F ∧ (a1 , b2 ) ∈ F ⇒ b1 = b2 und ⎩ ⎭ (a1 , b1 ) ∈ F ∧ (a2 , b1 ) ∈ F ⇒ a1 = a2 ( partielle Injektionen“). Diese Menge ist sicherlich nicht leer, denn sie enth¨alt min” ¨ destens die einelementigen Teilmengen von A × B.

Damit w¨are U offensichtlich wiederum wohlgeordnet und wir h¨ atten U U , U = U , so daß die total geordnete Teilmenge C von W nicht maximal w¨ are, da man ihr einfach (U , ≤) hinzuf¨ ugen k¨onnte. Wie bereits erw¨ ahnt, ist auch der Wohlordnungssatz ¨aquivalent zum Auswahlaxiom, auch wenn wir hier bislang lediglich eine Richtung des Beweises daf¨ ur angegeben haben. Insofern wir das Auswahlaxiom in seiner intuitiv so sch¨on einleuchtenden Formulierung∗ eben als Axiom setzen, ist die andere Richtung auch nicht von u ¨berbordendem Interesse f¨ ur uns.

Wir bilden die Menge V := M∈M M . Auf V gibt es laut Wohlordnungssatz eine Wohlordnung ✂ . Wir f¨ ugen ein bislang nicht in V enthaltenes Element max hinzu (beispielsweise k¨onnen wir max := V w¨ ahlen) und erg¨ anzen die Wohlordnung ✂ zu einer Wohlordnung ✂ := ✂ ∪ (V × {max}) auf V := V ∪ {max}. Offensichtlich ist V verm¨oge der nat¨ urlichen Injektionen iM : M → V : iM (m) := m m¨ achtiger als jedes M ∈ M. Daher ist K := {k ∈ V | ∃M ∈ M : |M | ≤ |{v ∈ V | v ✂ k}| } nicht leer und besitzt folglich ein bez¨ uglich ✂ minimales Element k0 .

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