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By Laurent Schwartz

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De même si f est une application de E dans F, et si f(E) C B, f définit une application fn de E dans B donnée par fn(x) = f(x). Pratiquement, on continuera toujours à l'écrire f au lieu de fn. I. 11. - Soit f une fonction définie sur E, à valeurs dans F. Si u est une application d'un ensemble E 1 dans E, on peut définir une nouvelle fonction fi = f o u définie sur E 1 à valeurs dans F. On dit qu'on a effectué le changement de variable u, ou changement d'ensemble initial E 1 1-+ E, et que fi est l'image réciproque de f par ce changement de variable.

25) (Va f; 0)(3b)('v'x) [(x E b) DÉMONSTRATION: - +-+ ((Vc)(c E a) -+ (x E c))] Puisque a est non vide, soit c E a. Posons : b = { x E c: ('v'z E a)(x E z)} , alors l'axiome de sélection nous permet de dire que b est un ensemble et cet ensemble est unique d'après l'axiome d'extensionnalité. 10. - Soit a un ensemble non vide. 26) n xEa X ou na ou n {X : X E a} formé par les éléments qui appartiennent à tous les ensembles qui appartiennent à a. Etant donnés deux ensembles A et B, on appelle intersection des ensembles A et B l'intersection des éléments de la paire {A, B}; elle est notée A n B.

Supposons a f. b et {x} ={a}, alors x =a. Si {x,y} ={a}, on a nécessairement x = y = a donc {a} = {a, b} et par suite a = b, ce que nous avons exclu. Donc nécessairement {x,y} = {a,b} et comme a= x et b f. a, on a bien b =y. Dans l'autre cas, on aurait {x} = {a, b} ce qui impliquerait que a = b, cas que nous avons écarté. 18. - Soient A et B deux ensembles. Il existe un ensemble unique - noté A x B - formé de tous les couples ordonnés (a, b) avec a E A et b E B. DÉMONSTRATION: - Nous venons de définir le couple ordonné (a, b) comme étant la paire {{a}, {a, b}}.

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