Analysis

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By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables. On y présente d'abord les propriétés algébriques, géométriques et topologiques de l'espace euclidien à n dimensions. À partir de là, on développe le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables réelles, à valeurs numériques ou à valeurs dans un autre espace euclidien. En particulier, le théorème des fonctions inverses est présenté et appliqué, through le théorème des fonctions implicites, à des problèmes d'optimisation sous contraintes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes et qui consider connues les notions de base de l'analyse en une variable telles que présentées dans les cours examine 1 et examine 2 ainsi que les résultats fondamentaux de l'algèbre linéaire. On trouvera sur ce web site divers records pertinents au cours.

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Topological Nonlinear Analysis II: Degree, Singularity and Variations

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Un cas particulier important du th´eor`eme pr´ec´edent est celui o` u g = f −1 . On a alors −1 f −1 (y0 ) = f (x0 ) . Soulignons que cette formule suppose que l’on sait que la fonction inverse f −1 est d´erivable en y0 = f (x0 ). Le th´eor`eme entraˆıne alors que la transformation 60 lin´eaire f (x0 ) est inversible (donc que m = n) et que la relation pr´ec´edente est valable. En passant aux matrices des transformations lin´eaires f (x0 ), g (y0 ) et (g ◦ f ) (x0 ), la relation (g ◦ f ) (x0 ) = g (y0 ) ◦ f (x0 ) implique (en ´ecrivant y = f (x) et z = g(y)) : ∂zk = ∂xj m i=1 ∂zk ∂yi ∂yi ∂xj pour 1 ≤ k ≤ p et 1 ≤ j ≤ n.

Soient f : R → R et g : R → R deux fonctions d´erivables. Montrer que la fonction h(x1 , x2 ) = f (x1 ) g(x2 ) est d´erivable. 2. D´eterminer l’ensemble des points o` u la fonction f (x1 , x2 ) = |x1 | x22 est d´erivable. 3. Mˆeme question pour la fonction f (x1 , x2 ) = 41 √ 3 x1 x2 . 4. Soit p > 1. Calculer grad( x p ) . 5. Soit f : R → R une fonction d´erivable. Calculer le gradient de la fonction g : Rn → R d´efinie par g(x) = f ( x ). 6. Soit xk sin x1 si x = 0, fk (x) = 0 sinon. Montrer que – f0 n’est pas continue ; – f1 est continue mais non d´erivable ; – f2 est d´erivable mais non continˆ ument d´erivable ; – f3 est continˆ ument d´erivable mais non deux fois d´erivable...

47 3. Montrer qu’une fonction f : Rn → R qui est `a la fois convexe et concave est n´ecessairement une fonction affine. 4. Montrer qu’une fonction convexe sur un poly`edre y atteint toujours son maximum en certains des sommets. 5. Montrer que la fonction Tx f (x) = (1 + xT x)x est convexe. 48 6 TRANSFORMATIONS DE L’ESPACE EUCLIDIEN Soit E ⊆ Rn un ensemble. Une fonction f : E → Rm est d´etermin´ee par ses composantes, les m fonctions num´eriques fi : E → R : f = (f1 , f2 , . . , fm ). 1 Exemples Nous consid´erons d’abord quelques transformations de ce type.

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