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By Skoruppa N.-P.

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Example text

Zun¨achst wissen wir nach Induktionsvoraussetzung, daß Dr f : U → Homr (Rn , Y ) existiert und stetig ist. Es gen¨ ugt zu zeigen, daß D r f stetig partiell differenzierbar ist, denn dann folgt ja mit dem schon Bewiesenem, daß D r f total stetig differenzierbar ist, also f ∈ C r+1 (U, Y ). Zum Beweis der stetigen partiellen Differenzierbarkeit von D r f betrachten wir die kanonische Basis e1 , . . , en von Rn . ,in die Elemente in Homr (X, Y ) sind, deren Wirkung auf Vektoren x(p) = (x(p) , . .

Da pi stetig ist, ist auch fi stetig, wenn f stetig ist, und wir werden gleich sehen daß letzteres auch f¨ ur die Differenzierbarkeit an Stelle der Stetigkeit gilt. ¨ Ubung. Man zeige: sind alle fi stetig in a, so ist auch f stetig in a. ¨ Ubung. Man zeige, daß die Projektionen pi differenzierbar sind und berechne ihre Ableitungen. Jacobi-Matrix Definition. Sei f : U → Rn (U ∈ Rm offen) differenzierbar in a. Die Matrix Jf (a), sodaß f¨ ur alle x ∈ Rm gilt Df (a)(x) = Jf (a) · x heißt Jacobi-Matrix von f in a.

5 Die Kettenregel Zum Berechnen der Ableitung einer Funktion als auch zum Nachweis ihrer Existenz ben¨ otigt man einige Regeln. Eine haben wir im letzten Abschnitt gesehen, wo totale Differenzierbarkeit auf partielle Differenzierbarkeit zur¨ uckgef¨ uhrt wurde. Dann gibt es einige offensichtliche Regeln, auf die wir hier gar nicht weiter eingehen (sie aber sehr wohl benutzen werden), wie etwa die, daß f → Df (a) linear in f ist, oder auch eine Regel f¨ ur das Produkt D(f g) von zwei reellwertigen Funktionen f und g.

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